Maten en verhoudingen

Who the fuck is Fibonacci?

Als de vraag gesteld wordt welke van de twee figuren (a of b) de voorkeur zal hebben, zal een meerderheid waarschijnlijk voor b kiezen. Dit figuur is volgens de verhoudingen van de gulden snede getekend. Deze ratio zit letterlijk en figuurlijk in het DNA van de mensheid. In de klassieke oudheid speelt de gulden snede bij het ontwerpen en bouwen al een belangrijke rol. Bij de Grieken en later de Romeinen was deze maatverdeling een bepalende regel in de architectuur.

Zo is in de constructie van het Parthenon in Athene de gulden snede in talloze verhoudingen terug te vinden. Ook in de schilderkunst en architectuur van de Renaissance is de gulden snede nadrukkelijk aanwezig. Dit is natuurlijk een logisch gevolg van het door schilders en architecten als voorbeeld stellen van de klassieken in deze periode. In de kunstgeschiedenis is – tot op de dag van vandaag –  de gulden snede steeds, in meer of mindere mate, een issue voor beeldend kunstenaars, architecten, ontwerpers en fotografen. Zelfs computerprogramma’s zoals Adobe’s Photoshop en Lightroom zijn voorzien van een uitsnijgereedschap waarin de ratio van de gulden snede is verwerkt.  

Natuurlijk probeerden vele generaties creatieven de in hun ogen achterhaalde dictatuur van de gulden snede van zich af te werpen. In het kader van de artistieke vrijheid laat je je niet beperkend door de stoffige, klassieke regels. Of het bewust ontkennen van klassieke maatverdelingen betere kunst, gebouwen, design of fotografie oplevert staat open voor debat. Om er over mee te praten is natuurlijk wel belangrijk te weten wat die regels precies inhouden.   

Verhoudingen.
De ‘gulden snede’ is een van de oudst bekende maatverdelingen. Euclides van Alexandrië beschreef al rond 300 v.Chr. hoe een lijnstuk te verdelen om de gulden snede te verkrijgen. Het principe van de gulden snede is dat bij het verdelen van een lijnstuk in twee delen, het grootste van de twee delen zich verhoudt tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste.  

Als in het te verdelen lijnstuk het grootste deel met AC is aangegeven en het kleinste deel met BC, dan is de verhouding AB staat tot BC als AC staat tot AB.

Uitrekenen hoe lang de lijnstukken moeten zijn om aan de verhoudingen te voldoen kan als volgt: Stel dat BC 1 is en AB is x. Bekend is AB/BC = AC/AB. Ingevuld betekent dat 

x / 1 = (x+1) / x. Kruislings vermenigvuldigen levert x2 = x + 1 op
ofwel x2 – x – 1 = 0. 

De positieve oplossing – er is ook een negatieve – voor deze kwadratische vergelijking is x = (1 + √5)/2. Uitgerekend levert dit het getal 1,6180339887 op. Dit getal wordt in de wiskunde aangeduid met de Griekse letter Φ (phi). Φ wordt vaak teruggebracht tot 1,618.

Uit dit gereken blijkt dat lijnstuk AC 1,618 keer zo lang moet zijn als lijnstuk BC. Lijnstuk AB is  1,618 keer zo lang als AC.

In de vlakverdeling bestaat de term ‘gulden rechthoek’. Dit is een rechthoek met zijden in de verhouding van de van de gulden snede. De lengte van zo’n rechthoek is 1,6180 keer de breedte. Aangenomen wordt dat de Griekse wiskundige Pythagoras (± 575 – 500 v.chr.) de eerste was die de gulden rechthoek tekende.

Als we in zo’n rechthoek een vierkant tekenen met de breedte (a) als alle zijden, dan is de rechthoek die overblijft opnieuw een gulden rechthoek. Bij het tekenen van een vierkant hierin ontstaat er opnieuw een gulden rechthoek. Door dit met een steeds kleiner wordende rechthoek te herhalen ontstaat er een ‘gulden spiraal’, ook wel de Fibonacci-spriraal genoemd. Een diagonaal van de eerste rechthoek snijdt eenzelfde diagonaal in de tweede rechthoek in het zelfde punt als de diagonalen in de steeds kleiner wordende rechthoeken. Dit is het centrum van de Fibonacci-Spriraal en is ook bekend als het ‘Oog van God’.

Spiraal.
Fibonacci was de bijnaam van Leonardo van Pisa, een wiskundige die rond 1200 voor het eerst een rij beschreef waarbij elk element steeds de som is van de twee voorgaande elementen. Beginnend bij 0 en 1 gaat dit in cijfers als volgt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, enz…

Nul plus één is één; één plus één is twee; één plus twee is drie en drie plus twee is vijf… Met deze getallenrij is iets bijzonders aan de hand: De uitkomst van het delen van een getal uit de reeks door het voorafgaande getal wordt al snel 1,618.

 8      /  5     = 1,6

13     /  8     = 1,625

21     / 13    = 1,615

34     /  21   = 1,619

55     /  34   = 1,618

89     /  55   = 1,618 

1597 /  987 = 1,618

Klinkt bekend nietwaar? 1,618 is (ook) Φ .

De natuur neemt de Fibonacci reeks serieus. In slakkenhuizen, bloemblaadjes, zaden, kristallen, eigenlijk in vrijwel alle door de natuur gevormde geometrische herhalingen is de getalsdiscipline van de Fibonacci reeks terug te vinden. 

Bijvoorbeeld in een zonnebloem waar in de verdeling van de zonnebloemzaden (tegen elkaar in draaiende) spiralen te zien zijn. Afhankelijk van de grootte van de zonnebloem vermeerdert het aantal spiralen zich volgens de Fibonacci reeks. Als 55 spiralen zijn die linksom draaien zullen er 34 spiralen zijn die de andere kant om draaien. 

Niet alleen de Fibonacci reeks maar ook de hiermee verband houdende gulden snede komt in de natuur op talloze plaatsen terug. Bij vlinders verhoudt het borststuk zich tot het achterlijf, zoals het achterlijf zicht tot het hele lichaam verhoudt. Bij vissen is het niet anders. De verhouding van de neus tot aan de staart is zoals de afstand van de neus tot aan de buikvin zich verhoudt tot die van de buikvin tot aan de staart. 

Ook het menselijk lichaam zit vol met Φ verhoudingen. Zo verhoudt de onderarm plus de hand zich tot de onderarm zoals de onderarm zich tot de hand verhoudt. Ook tussen de lengte van het middelste botje in een vinger tot het langste en het kortste botje komt de Φ verhouding terug. Het aantal Φ verhoudingen in het menselijk gezicht zal een indicatie zijn voor aantrekkelijkheid of de ‘schoonheid‘ ervan.

Omdat deze verhoudingen de natuur (lijken te) beheersen, dringt zich al snel de conclusie op dat dit geen toeval kan zijn.  Φ  is het favoriete getal van de Schepper en daarom vinden we het overal in terug. Het is een steekhoudend en overtuigend bewijs voor creatisten. 

Er zijn echter ook goddeloze wiskundigen die die zich suf cijferen om aan te tonen dat bij iedere recursieve getallenreeks die zich volgens een vast patroon vermeerdert (bijvoorbeeld 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47…) het delen van het volgende getal door het voorgaande uiteindelijk toch 1.6180 (Φ) op gaat leveren. Het telkens weer tegenkomen van Φ in de natuur verklaren deze godlasteraars als volgt: Ieder groeiproces is in feite in een recursieve vergelijking is te vervatten.

Een slak kan zo groot zijn als zijn slakkenhuis dat toelaat; het slakkenhuis zal proportioneel groeien op basis van de groei van de slak. Derhalve is de groei van het slakkenhuis gelijk aan de ‘vorige‘ afmeting van het slakkenhuis plus de groei. Omdat de mate van groei er niet toe doet levert iedere getallenreeks waarin de groei van het slakkenhuis wordt geplaatst – bij deling van het volgende getal door het voorgaande – uiteindelijk Φ op. Omdat de natuur niets anders doet dan groeien wemelt het er van deze verhoudingen.

Vanwege het enorme aantal variabelen in de natuur zijn er bij natuurlijk dit soort stellingen altijd voors en tegens in te brengen. Feit blijft dat wie maar lang genoeg zoekt, altijd en overal wel een Φ verhouding zal vinden.  

Menselijke maat.
De Vitruviusman van Leonardo da Vinci is een weergave van de (volgens Leonardo) ideale proporties van het – mannelijk – menselijk lichaam. Hoewel de Vitruviusman bijna tot een icoon van de gulden snede is uitgegroeid, is er geen enkel bewijs dat  Leonardo zich bewust was van deze getalsrelatie. Toch denken velen – misschien is de wens de vader van deze gedachten – een overvloed aan gulden rechthoeken in de Vitruviusman te zien.

Bijvoorbeeld in de rechthoek die loopt van de ene schouder tot aan de andere en waarvan de bovenzijde, de bovenkant van het hoofd raakt. Deze rechthoek is een gulden rechthoek: Bij het tekenen van een vierkant vanaf de linkerkant van het hoofd in deze rechthoek ontstaat er aan de andere kant weer een gulden rechthoek. Zo zijn er – met de nodige fantasie – meer gulden rechthoeken in de Vitruviusman te tekenen.  

Lenonardo maakte de bekende tekening omstreeks 1490. Hij ging hierbij uit van de ideeën van Marcus Vitruvius Pollo (± 85 – 20 v.Chr.). Vitruvius was architect en auteur van ‘De Architectura’ een standaardwerk over bouwkunst. Voor Vitruvius was het menselijk lichaam het perfecte voorbeeld van de ideale proporties. Zijn belangrijkste stelling was dat in een gebouw de breedte, hoogte en diepte in de ‘menselijke maat’ moesten zijn. Hij bedoelde hiermee de verhoudingen in het mensenlijk lichaam. 

De tekening van Leonardo was één van de ongeveer 60 illustraties die hij maakte voor de ‘Divina Proportione’ een traktaat van de wiskundige Luca Pacioli. De tekening wordt ingedeeld bij het anatomisch onderzoek van Leonardo. Meer nog is het de zoektocht van Leonardo naar maten en verhoudingen die zowel in de kunst als de bouwkunst toepasbaar zijn. In dit opzicht stelde hij zich op een zelfde manier op als latere zeventiende eeuwse wetenschappers zoals Newton of Huygens. Net als deze onderzoekers baseerde hij zich op empirische gegevens door op basis van praktisch onderzoek te gaan meten.  

In de bijgaande tekst – in spiegelschrift –  gaf Leonardo de resultaten hiervan in de vorm van een aantal maten en verhoudingen voor de ideale proporties van het menselijk lichaam. Zo zijn bijvoorbeeld de uitgestrekte armen gelijk aan de lengte; De afstand van de kruin tot de onderkant van de kin is een 8-ste van de lengte van de man.

Het ideale lichaam is dus acht hoofden groot; De maximale breedte van de schouders is een kwart van de lengte van de man; De afstand van het midden van de borstkas tot de kruin is een kwart van de lengte van de man; Van de elleboog tot aan de vingertop is de afstand een kwart van de lengte van de man; De afstand van de elleboog tot aan de oksel is een 8-ste van de lengte van de man; De lengte van de hand is een 10-de van de lengte van de man.

De regel van derden is een hulpmiddel voor een compositie. De hulplijnen vormen een grid van twee verticale en twee horizontale lijnen. Dit grid verdeelt de afbeelding in negen gelijke delen. Hierbij ontstaan vier snijpunten die als belangrijke aandachtspunten in de te maken compositie (kunnen) worden beschouwd. 

De graficus John Thomas Smith beschreef in 1797 in zijn boek ‘Remarks on Rural Scenery’ voor het eerst de regel van derden. Hij deed dit in relatie tot het beschrijven van een schilderij van Sir Joshua Reynolds. In de conceptie van Reynolds was de regel van derden niet het (simpele) hulpmiddel voor vlakverdeling zoals het nu wordt toegepast. Zijn idee was het toepassen van de regel op alle verdelingen van rechte lijnen, vormen en groepen. Het huidige belang van de snijpunten als onderdelen van een compositie ontbrak geheel in zijn uiteenzettingen over de regel van derden.

Tussen de regel van derden en de gulden snede is geen relatie. Een overeenkomst zou kunnen zijn dat snijpunt van diagonalen van verschillende rechthoeken (het centrale punt in de Fibonacci spiraal) een aandachtspunt creëert dat niet in het midden van de compositie ligt. De vier snijpunten die de regel van derden vormt plaatsen een hoofdonderwerp ook vaak buiten het midden van de compositie.

Wel is er een vlakverdeling-grid te maken met andere verhoudingen cq de verhoudingen van de gulden snede. In plaats van een driedelig grid in de verhoudingen 1 : 1 : 1 dat een verdeling in negen gelijke delen oplevert, is het ook mogelijk om een grid in Φ verhoudingen te maken: 1,618 : 1 : 1,618. Dit levert een grid op waarbij de vier snijpunten dichter bij elkaar liggen dan in het regel van derden grid. Zo’n grid wordt ‘gulden derden’ of ‘golden thirds’ genoemd. Het kan worden toegepast voor het bepalen van Φ verhoudingen in een afbeelding. 

Magie.
De ratio van de gulden snede is al een paar duizend jaar een item in kunst en architectuur.    Verondersteld wordt dat de Egyptenaren hun piramides ook volgens de regels van de gulden snede bouwden. Of ze dat bewust deden is nog maar de vraag. Bij het narekenen van hoeken en proporties van bijvoorbeeld de piramide van Cheops, kan op veel punten de gulden snede verhouding worden aangetoond. Echter, het is al eerder gezegd, wie maar lang genoeg zoekt zal altijd en overal Φ verhoudingen en Fibonacci spiralen vinden.

Bijvoorbeeld in ons DNA.  De DNA molecule – de blauwdruk van al het leven – is 34 angstrom lang en 21 angstrom breed voor iedere volledige cirkel in de dubbele helix spiraal. Een ander – random – voorbeeld zijn de toetsen van het klavierbord van een piano, synthesizer of orgel. In een octaaf zijn zwarte en witte toetsen verdeeld in vijf zwarte en acht witte toetsen; de zwarte toetsen zijn verdeeld in sets van twee en drie toetsen. Het totaal van het aantal toetsen in een octaaf is dertien.  En daar is met 2, 3, 5, 8 en13 weer de bekende getallenreeks van Fibonacci.

De voor veel mensen niet echt toegankelijke wiskundige becijferingen, gekoppeld aan mythische verhalen over Egyptische piramides, Griekse filosofen, Leonardo da Vinci, aangevuld met een eindeloze rij serieuze wetenschappers en vage ouwehoeren, levert een mix op waarin Φ best wel eens de sleutel zou kunnen zijn van alle raadselen in de kosmos. Of dat zo is? Wie weet. Het levert in ieder geval veel  interessante en spannende ‘as-je-me-nou‘ verhalen op.

Vooralsnog heeft Φ zijn toepassingen omdat de ratio door veel mensen ‘mooi‘ gevonden wordt.

Waarom eigenlijk?